中南大学考研辅导班：2020年中南大学数学与统计学院博士研究生考核制入学考试大纲《泛函分析》

卷面满分值为100分，考试时间为100分钟。

一、适用范围

适用于数学专业博士生入学考试

二、内容及要求

1、线性赋范空间

（1）度量空间和不动点原理

（2）线性赋范空间和一些经典例子

（3）完备性和Banach空间

要求：

了解度量空间、线性赋范空间、完备性和Banach空间的定义，掌握不动点定理、经典赋范空间中的三角不等式（Minkowski不等式）以及完备性的证明。

2、有界线性算子

（1）空间B(X,Y)

（2）共鸣定理及其应用

（3）开映射定理、逆算子定理和闭图像定理

（4）Hahn-Banach延拓定理及其推论

要求：

有界线性算子、空间B(X,Y)的定义；空间B(X,Y)在何种条件下成为Banach空间；有界线性算子的范数计算；掌握共鸣定理及其相关应用、逆算子定理、闭图像定理、Hahn-Banach延拓定理及其推论。

3、连续线性泛函

（1）对偶空间X

（2）弱收敛和弱星收敛（w收敛和w收敛）

要求：

连续线性泛函、对偶空间X的定义；连续线性泛函的范数计算；、、等空间的对偶；自然嵌入算子；依范数收敛、弱收敛和弱星收敛的定义，以及这三种收敛的关系。

4、Hilbert空间

（1）内积空间和Hilbert空间

（2）正交投影

（3）Riesz表示定理

要求：

内积、内积空间、Hilbert空间、投影的定义；内积运算的相关性质（勾股定理、平行四边形法则、极化恒等式等）；Cauchy-Schwartz不等式；投影定理；投影的等价刻画；Riesz表示定理

5、谱理论

要求：

谱点的定义和分类；自伴算子、酉算子、左移算子的谱点集。

三、参考书目

1. 《泛函分析基础》，科学出版社，刘培德编著

2. 《泛函分析讲义》，高等教育出版社，许全华等编著