中南大学考研辅导班：2020年中南大学数学与统计学院博士研究生考核制入学考试大纲《微分方程基础》
卷面满分值为100分，考试时间为100分钟。
一、适用范围
适用于应用数学专业博士生入学考试
二、内容及要求
（一）常微分方程
1、一阶常微分方程解的基本理论
（1）初值问题解的存在唯一性
（2）解的延拓
（3）解对初值的连续性和可微性
要求：
理解解的延拓，掌握解对初值的连续性和可微性、存在唯一性及定理及逐步逼近法与不动点方法。
2、常微分方程的定性理论与稳定性理论
（1）非线性微分方程的基本理论与运动稳定性概念
（2）二维线性微分方程孤立奇点的分类及按线性近似决定奇点的分类与稳定性
（3）稳定性的李雅普函数法
（4）周期解与极限环存在性、不存在性、唯一性及稳定性
要求：
熟悉按线性近似决定奇点的分类与稳定性，掌握李雅普函数法及周期解与极限环存在性、不存在性、唯一性及稳定性判定方法
3、微分方程的边值问题与特征值问题
（1）Green函数
（2）Sturm-Liouville型边值问题解的积分表示
（3）Sturm-Liouville型边值问题的特征值与特征函数
（4）特征值的存在性定理
要求：
熟悉求Sturm-Liouville型边值问题Green函数的方法及其解的积分表示，掌握特征值的存在性定理
（二）数学物理方程
（1）波动方程及其能量不等式，解的存在性
（2）热传导方程及其极值原理，解的存在性
（3）调和方程及其极值原理，解的存在性
要求：
掌握波动方程的能量不等式、热传导方程与调和方程的极值原理及其相应的初值问题与边值问题解的存在唯一性定理。
三、参考书目
1. 《常微分方程定性与稳定性方法》，马知恩等编著
2. 《常微分方程补充教程》，尤秉礼编
3. 《数学物理方程》，谷超豪等编
