2204 数学物理方法
一、考试目的
考察考生对《数学物理方法》课程的基本理论体系和知识结构的掌握情况及熟练程度。要求考生概念清楚，基本方法掌握扎实，并具备综合运用各知识点解决问题的能力。
二、考试内容
1、 认识波动方程、热传导方程、拉普拉斯方程（位势方程）等三类基本方程的一般形式；了解初始条件和第一、第二和第三类边界条件所代表的物理意义。
2、了解线性偏微分方程解的叠加原理及其应用。
3、熟练掌握分离变量法求解数学物理定解问题的步骤；会用分离变量法求解一维齐次波动方程、热传导方程和二维拉普拉斯方程带有齐次边界条件的定解问题。
4、熟练掌握用固有（本征）函数法求解非齐次方程带有齐次边界条件的定解问题。
5、熟练掌握将定解问题中的非齐次边界条件齐次化的方法，尤其是将方程和边界条件同时齐次化的方法，并会求解。
6、熟练掌握本征（固有）值问题、本征值和本征函数的概念和意义，会求本征值问题的解 （包括勒让德方程和贝塞尔方程的本征值问题）。
7、能够将一般的二阶线性常微分方程化成斯特姆-刘维尔型方程，了解各类边界条件的提法及相应的物理意义，熟悉本征值问题的提法。
8、掌握斯特姆-刘维尔本征值问题中本征值和本征函数的性质，能够证明本征函数系的正交性和完备性等性质，理解它们的应用。
9、熟练掌握三类基本方程在极坐标、柱坐标和球坐标中分离变量的方法，并能将指定方程分离成常微分方程。
10、熟练掌握贝塞尔方程和贝塞尔函数引入的过程，会将极坐标系中的二维波动方程、二维热传导方程和柱坐标系中的拉普拉斯方程进行分离变量法，即得到单变量函数满足的常微分方程，能写出其中贝塞尔方程的通解。
11、理解并掌握贝塞尔函数的各种性质，会用其零点的数值表示本征值，会用递推公式做相关证明及计算；会证明贝塞尔函数的正交性，会在各类边界条件下计算贝塞尔函数模的平方，会将一个满足条件的已知函数按贝塞尔函数展开。
12、熟练求解含有贝塞尔函数的定解问题。
13、了解修正贝塞尔方程的形式及其产生的物理问题的性质，熟悉修正贝塞尔函数的定义以及其与第一类贝塞尔函数之间的关系，会解含有修正贝塞尔函数的定解问题
14、熟悉勒让德方程和勒让德多项式引入的过程，能够将球坐标系中的拉普拉斯方程通过分离变量得到常微分方程。熟练写出其中的关联勒让德方程和其特殊情况情形--勒让德方程的本征解，即关联勒让德多项式和勒让德多项式。
15、熟悉勒让德多项式的定义及各种性质，熟悉勒让德多项式的微分表示即罗德里格斯
16、掌握勒让德多项式的母函数关系，以及由此导出的递推公式等性质。
17、会证明勒让德多项式的正交性质，会求其模的平方，并能将满足条件的函数展开成勒让德多项式的级数。熟练掌握将一般多项式按勒让德多项式展开的方法。
18、能够求解含有勒让德多项式的定解问题。
19、了解行波法求解一维波动方程的思想合推导过程，熟练应用达朗贝尔（D’Alembert） 公式求解一维无界波动问题。
20、了解三维无界波动方程初值问题解题的思路，会用三维泊松公式求解定解问题。
21、了解二维无界波动方程初值问题解题的思路，会用二维泊松公式求解定解问题。
22、理解用积分变换方法求解定解问题的思路，熟悉傅里叶积分变换和拉普拉斯积分变换以及相应逆变换的定义，会计算简单函数的积分变换和逆变换。
23、熟练掌握傅里叶积分变换和拉普拉斯积分变换的性质及其证明。
24、会用傅里叶积分变换法求解定解问题。
25、会用拉普拉斯积分变换法求解定解问题。
三、试题结构
1、试题一般包括简答题和计算题，以及不超过 20%的证明题。
2、考试时间 3 小时，满分 100 分。
