2020年硕士研究生入学考试大纲

考试科目名称：常微分方程          考试时间：60分钟，满分：50分

一、 考试要求：

1.绪论：

(1) 了解利用微分方程解决实际问题的建模方法；

(2) 熟练掌握下列基本概念：

微分方程、阶、通解与特解、初始条件与初值问题、积分曲线。

2. 一阶微分方程的类型及解法：

（1）掌握变量分离方程与变量变换法；

（2）了解可化为变量分离方程的类型；

（3）熟练掌握线性方程与常数变易法（含伯努利方程）；

（4）掌握恰当方程与积分因子法；

（5）了解一阶隐方程及参数表示。

3. 一阶微分方程的解的存在定理：

(1) 掌握一阶微分方程解的存在与唯一性定理，会用逐步逼近法求近似解；

(2) 理解解的延拓；

 (3) 理解解对初值的连续性和可微性定理。

4. 高阶微分方程：

(1) 掌握高阶微分方程的一般理论；

(2) 熟练掌握齐次线性微分方程与非齐线性微分方程的解的性质与结构；

(3) 掌握求解常系数线性微分方程的基本方法；

(4) 了解求解欧拉方程的方法；

(5) 熟悉可降阶的微分方程的解法。

5.  线性方程组：

(1) 掌握线性微分方程与线性微分方程组之间的等价关系；

(2) 理解线性微分方程组的解的存在性定理；

(3) 会求一些较简单常系数线性微分方程组。

6.  非线性微分方程：

(1) 了解解的稳定性；

(2) 了解V 函数方法。

二、 考试内容：

1.引论：

(1) 利用微分方程解决实际问题的建模方法；

(2) 掌握下列基本概念：

微分方程、阶、通解与特解、初始条件与初值问题、积分曲线。

2. 一阶微分方程的类型及解法：

（1）掌握变量分离方程与变量变换法；

（2）可化为变量分离方程的类型；

（3）线性方程与常数变易法（含伯努利方程）；

（4）恰当方程与积分因子法；

（5）一阶隐方程及参数表示。

3. 一阶微分方程的解的存在定理：

(1) 一阶微分方程解的存在与唯一性定理，会用逐步逼近法求近似解；

(2) 解的延拓；

 (3) 解对初值的连续性和可微性定理。

4. 高阶微分方程：

(1) 高阶微分方程的一般理论；

(2) 齐次线性微分方程与非齐次线性微分方程的解的性质与结构；

(3) 常系数线性微分方程的解法；

(4) 欧拉方程；

(5) 可降阶的微分方程。

5.  线性方程组：

(1) 线性微分方程与线性微分方程组之间的等价关系；

(2) 线性微分方程组的解的存在性定理；

(3) 简单常系数线性微分方程组。

三、参考书目

1. 《常微分方程》，王高雄、周之铭等编（第三版），高等教育出版社，2006；

2. 《常微分方程学习辅导与习题解答》，朱思铭，高等教育出版社，2009；

3. 《常微分方程教程》，丁同仁（第二版），高等教育出版社，2004.