2020年硕士研究生入学考试大纲
考试科目名称：数值计算方法 考试时间：60分钟，满分：50分
一、 考试要求：
(1) 理解误差分析的基本概念（绝对误差、相对误差与有效数字）；
(2) 理解数值稳定性并会判断数值稳定的算法；
(3) 掌握数值计算的几个原则，如尽量避免相近数相减和绝对值小的数作分母等。
2.非线性方程的数值解法：
(1) 会用二分法求解非线性方程的数值解；
(2) 掌握一般迭代法收敛的充分条件，并会构造收敛的迭代方法；
(3) 掌握Newton迭代法。
3. 线性方程组的直接解法：
(1) 会用Gauss消去法和选主元的Gauss消去法求解线性方程组；
(2) 掌握LU分解和平方根方法；
(3) 会求向量的范数和矩阵的范数；
(4) 熟悉条件数的概念并理解方程组的病态性。
4. 多项式插值：
(1) 掌握Lagrange插值和Newton插值；
(2) 理解Runge现象；
(3) 理解样条函数和三次样条插值函数的概念。
5. 最佳逼近：
(1) 理解一致逼近和平方逼近多项式的概念；
(2) 理解最小二乘问题和掌握矛盾方程组的最小二乘解；
(3) 会求一些简单的可化为线性拟合的非线性拟合问题。
6. 数值积分与微分：
(1) 理解数值积分代数精度的定义与性质；
(2) 掌握Newton-Cotes公式及其计算；
(3) 掌握复化的求积公式计算及其误差判断；
(4) 理解基本的数值微分两点公式和三点公式。
7. 线性与非线性方程组的迭代解法：
(1) 掌握Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代；
(2) 理解一般线性方程组的迭代法的收敛条件；
(3) 理解求解非线性方程组的Newton法。
8. 常微分方程初值问题的数值解：
(1) 掌握向前和向后的Euler法；
(2) 会用简单的Runge-Kutta公式进行计算；
(3) 理解线性多步的预测-校正方法。
二、 考试内容：
1.引论：
(1) 求绝对误差、相对误差与有效数字；
(2) 数值稳定性和数值稳定的算法；
(3) 掌握数值计算的几个原则，如尽量避免相近数相减和绝对值小的数作分母等。
2.非线性方程的数值解法：
(1) 用二分法求解非线性方程的数值解；
(2) 构造求非线性方程的收敛的迭代方法；
(3) 用Newton迭代法求非线性方程的数值解。
3. 线性方程组的直接解法：
(1) 用Gauss消去法和选主元的Gauss消去法求解线性方程组；
(2) 求矩阵的LU分解和用平方根方法求线性方程组的解；
(3) 求向量的范数和矩阵的范数；
(4) 求方程组或矩阵的条件数、判断方程组的病态性。
4. 多项式插值：
(1) 求Lagrange插值多项式和Newton插值多项式；
(2) 解释Runge现象；
(3) 解释样条函数和三次样条插值函数。
5. 最佳逼近：
(1) 解释一致逼近和平方逼近多项式；
(2) 求线性方程组的最小二乘解；
(3) 求一些简单的可化为线性拟合的非线性拟合问题。
6. 数值积分与微分：
(1) 求数值积分公式的代数精度；
(2) 用Newton-Cotes公式计算数值积分；
(3) 用复化的求积公式计算数值积分并估计误差；
(4) 用基本的数值微分两点公式和三点公式计算。
7. 线性与非线性方程组的迭代解法：
(1) 用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求线性方程组的数值解；
(2) 判断一般线性方程组的迭代法的收敛性；
(3) 用Newton法求非线性方程组的数值解。
8. 常微分方程初值问题的数值解：
(1) 用向前和向后的Euler法求常微分方程的数值解；
(2) 用简单的Runge-Kutta公式计算常微分方程的数值解；
(3) 判断线性多步的预测-校正方法的阶。
三、参考书目
1. 《数值计算方法》，李维国、聂立新 编（第三版），石油工业出版社，2019年9月，
2. 《数值计算方法》，黄云清、舒适 等编，科学出版社，2009年1月，
3. 《数值分析》，李清扬、王能超、易大义 编（第五版），清华大学出版社，2008年12月。
