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2019 年招收攻读硕士研究生考试题

                          考试科目代码：      723     

                          考试科目名称：    量子力学 

说明：考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负。

一、填空题（每空2分，共20分）

1. 如果一个一维谐振子的频率是，则其第一激发态能量是       ，相应的简并度为         。

2. 在粒子数表象下，       。

3. 若某一力学量不显含时间，且与体系哈密顿量对易，则是       。

4. 一个量子态在坐标表象下的波函数，与其在动量表象下的波函数是通过       变换联系起来的。

5. 厄米算符的本征值必定是       数。

6. 一粒子在一维方向上运动，在时刻的波函数为，其中，为常数，则其坐标空间上的概率密度是       。

7. 若某一态矢量，其中,为复数，则     ，对应的归一化方程可以表示为    。

8. 对于Pauli矩阵，        。

二、简答题（每题5分，共20分）

1. 分子的双缝实验，和光电效应的物理意义分别是什么？

2. 写出一般情况下的含时薛定谔方程，定态薛定谔方程，以及对应于本征能量的定态波函数表达式。

3. 解释量子隧道效应，并说明有无经典对应。

4. 考虑一个没有相互作用的两粒子体系，若可能占据的单粒子态为和，当这两个粒子是（1）全同费米子；（2）全同玻色子时，请分别写出该体系可能的归一化波函数。

三、计算题（每题25分，共50分）

1. 设为氢原子能量为的定态波函数（已归一化），若当时氢原子处于状态中,,其中是实常数。求：（1）确定的数值；（2）若当时氢原子波函数；（3）轨道角动量平方及第三分量的可能值和平均值。

2. 求绕固定轴（取为轴）的转子的能量本征值和本征态（,是转动惯量）。

四、证明题（每题20分，共60分）

1.假设某一体系的势场是实数，若是定态薛定谔方程的一个解，对应于本征能量，证明也是该薛定谔方程的解，对应的本征能量也是。

2. 已知，证明（1）；（2）。

3.证明。